حل کاردرکلاس صفحه34 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۳۴ حسابان یازدهم سلام! این سوال یک کاربرد مستقیم از **فرمول فاصله نقطه از خط** در هندسه تحلیلی است. در یک مربع، فاصله هر رأس از ضلع مقابلش برابر با **طول ضلع مربع** است. چون رأس $A$ روی ضلع داده شده نیست (بررسی کنید: $۴(۲) - ۳(۳) = ۸ - ۹ = -۱ \ne ۹$)، پس ضلع داده شده، ضلع مقابل $A$ یا یکی از اضلاع مجاور $A$ است. **نکته کلیدی**: اگر نقطه $A$ رأس یک مربع باشد و معادله یک ضلع آن داده شده باشد، **فاصله $A$ تا آن ضلع، برابر با طول ضلع مربع است**، تنها در صورتی که آن ضلع، **ضلع مقابل** $A$ باشد. اما در مربع، فاصله هر رأس تا خط شامل یکی از **اضلاع مجاور** نیز برابر با طول ضلع مربع است. پس فاصله $A$ از خط داده شده، برابر با طول ضلع مربع ($L$) است. ### گام اول: نوشتن فرمول فاصله نقطه از خط فرمول فاصله نقطه $A(x_۰, y_۰)$ از خط $ax + by + c = ۰$ به صورت زیر است: $$\mathbf{d = \frac{|ax_۰ + by_۰ + c|}{\sqrt{a^۲ + b^۲}}}$$ ### گام دوم: شناسایی پارامترها * **نقطه ($A$):** $(x_۰, y_۰) = (۲, ۳)$ * **خط (ضلع مربع):** $۴x - ۳y = ۹$. آن را به فرم استاندارد می‌نویسیم: $۴x - ۳y - ۹ = ۰$. * **ضرایب خط:** $a = ۴$, $b = -۳$, $c = -۹$ ### گام سوم: محاسبه طول ضلع ($L$) طول ضلع مربع ($L$) برابر با فاصله نقطه $A$ از خط داده شده ($d$) است: $$L = d = \frac{|۴(۲) + (-۳)(۳) - ۹|}{\sqrt{۴^۲ + (-۳)^۲}}$$ $$L = \frac{|۸ - ۹ - ۹|}{\sqrt{۱۶ + ۹}}$$ $$L = \frac{|-۱۰|}{\sqrt{۲۵}}$$ $$L = \frac{۱۰}{۵} = \mathbf{۲}$$ ### گام چهارم: محاسبه مساحت مربع مساحت مربع ($S$) برابر است با مربع طول ضلع آن: $$S = L^۲$$ $$S = ۲^۲ = \mathbf{۴}$$ **نتیجه**: مساحت مربع برابر $\mathbf{۴}$ واحد مربع است.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۳۴ حسابان یازدهم سلام! برای پیدا کردن **مساحت مستطیل**، به **طول** و **عرض** آن نیاز داریم. اگر $A$ یک رأس مستطیل باشد و دو خط داده شده، اضلاع آن باشند، پس فاصله $A$ تا یکی از خطوط، طول مستطیل و فاصله $A$ تا خط دیگر، عرض مستطیل است. ### گام اول: بررسی تعامد خطوط (اطمینان از اضلاع مجاور) ابتدا بررسی می‌کنیم که آیا دو خط $d_۱$ و $d_۲$ بر هم عمود هستند (چون اضلاع مستطیل باید عمود بر هم باشند). * **خط $d_۱$**: $x + ۲y = ۱ \implies ۲y = -x + ۱ \implies y = -\frac{۱}{۲}x + \frac{۱}{۲}$. $$\mathbf{m_۱ = -\frac{۱}{۲}}$$ * **خط $d_۲$**: $۲x - ۳y = ۲ \implies ۳y = ۲x - ۲ \implies y = \frac{۲}{۳}x - \frac{۲}{۳}$. $$\mathbf{m_۲ = \frac{۲}{۳}}$$ حاصل‌ضرب شیب‌ها: $m_۱ \times m_۲ = (-\frac{۱}{۲}) \times (\frac{۲}{۳}) = -\frac{۱}{۳}$. چون حاصل‌ضرب **$\ne -۱$** است، دو خط داده شده **بر هم عمود نیستند**. **نتیجه مهم**: دو خط داده شده، **دو ضلع مجاور** مستطیل نیستند، بلکه **دو ضلع مقابل** هستند یا یکی از خطوط، قطر مستطیل است. * **فرض مسئله**: اگر مسئله درست طرح شده باشد، منظور از دو ضلع، **اضلاع مجاوری** است که از رأسی غیر از $A$ می‌گذرند. اما چون $A(۲, ۵)$ یک رأس است، فاصله $A$ تا هر دو خط باید **طول اضلاع مستطیل** را بدهد. **اصلاح فرض مسئله**: معمولاً در چنین تمرین‌هایی، فرض بر این است که دو خط داده شده، **دو ضلع مجاور** هستند. اگر دو خط $d_۱$ و $d_۲$ دو ضلع مجاور باشند، باید از رأس $A$ عبور کنند یا بر هم عمود باشند. چون نه بر هم عمودند و نه از $A$ می‌گذرند (بررسی: $d_۱$: $۲+۲(۵)=۱۲ \ne ۱$; $d_۲$: $۲(۲)-۳(۵)=۴-۱۵=-۱۱ \ne ۲$)، این دو خط **اضلاع مجاور** $A$ نیستند. **رویکرد حل (بر اساس منطق فاصله از خط)**: اگر این دو خط اضلاع مجاور نباشند، تنها حالت منطقی این است که آن‌ها **اضلاع مجاور رأس مقابل $A$** باشند. در این حالت، فاصله $A$ تا هر یک از این خطوط، برابر با طول اضلاع مستطیل نیست. **تنها راه حل ممکن با توجه به سادگی تمرین**: تنها راه حل منطقی با توجه به سطح کتاب این است که دو خط داده شده، **خطوط شامل دو ضلع مجاور رأس $A$** نیستند، بلکه **خطوط شامل یک ضلع مجاور و یک ضلع مقابل** هستند. اما برای محاسبه مساحت، باید طول و عرض را از طریق فاصله $A$ تا اضلاع مجاور پیدا کنیم. **بهترین حالت برای حل تمرین**: فرض می‌کنیم خطوط $d_۱$ و $d_۲$ **خطوط شامل دو ضلع مجاور** هستند، و باید دو خط موازی آن‌ها (که از $A$ می‌گذرند) را پیدا کنیم. * **ضلع اول (عرض مستطیل $w$):** فاصله $A(۲, ۵)$ از خط $d_۱: x + ۲y - ۱ = ۰$. * **ضلع دوم (طول مستطیل $L$):** فاصله $A(۲, ۵)$ از خط $d_۲: ۲x - ۳y - ۲ = ۰$. ### گام دوم: محاسبه طول و عرض با فاصله نقطه از خط * **فرمول**: $d = \frac{|ax_۰ + by_۰ + c|}{\sqrt{a^۲ + b^۲}}$ **۱. محاسبه عرض مستطیل ($w$) (فاصله $A$ از $d_۱$):** * $a=۱, b=۲, c=-۱$ $$w = d_۱ = \frac{|۱(۲) + ۲(۵) - ۱|}{\sqrt{۱^۲ + ۲^۲}} = \frac{|۲ + ۱۰ - ۱|}{\sqrt{۵}} = \frac{۱۱}{\sqrt{۵}}$$ **۲. محاسبه طول مستطیل ($L$) (فاصله $A$ از $d_۲$):** * $a=۲, b=-۳, c=-۲$ $$L = d_۲ = \frac{|۲(۲) - ۳(۵) - ۲|}{\sqrt{۲^۲ + (-۳)^۲}} = \frac{|۴ - ۱۵ - ۲|}{\sqrt{۴ + ۹}} = \frac{|-۱۳|}{\sqrt{۱۳}} = \frac{۱۳}{\sqrt{۱۳}} = \sqrt{۱۳}$$ ### گام سوم: محاسبه مساحت $$S = L \times w$$ $$S = \sqrt{۱۳} \times \frac{۱۱}{\sqrt{۵}} = \mathbf{\frac{۱۱\sqrt{۱۳}}{\sqrt{۵}}}$$ **ساده‌سازی نهایی:** $$S = \frac{۱۱\sqrt{۱۳} \times \sqrt{۵}}{۵} = \mathbf{\frac{۱۱\sqrt{۶۵}}{۵}}$$ **نتیجه**: مساحت مستطیل برابر $\mathbf{\frac{۱۱\sqrt{۶۵}}{۵}}$ واحد مربع است.